Loi de Benford

Voici un extrait de d'un article de Jean-Paul Delahaye (https://www.cristal.univ-lille.fr/~jdelahay/pls/2018/299.pdf) :
« Les nombres que l’on rencontre pour mesurer la population des villes, les distances entre étoiles ou les prix apparaissant sur les produits d’un grand supermarché montrent une propriété surprenante. Dans ces séries, la proportion de nombres dont le premier chiffre significatif est 1 est supérieure à la proportion de nombres dont le premier chiffre significatif est 2, elle-même supérieure à la proportion de nombres dont le premier chiffre significatif est 3, et ainsi de suite.
La loi du premier chiffre significatif indique précisément que, dans un contexte général, et sans raisons particulières opposées, les probabilités de rencontrer les différents chiffres en tête des nombres sont respectivement : \(p(1)=30{,}1~\%\), \(p(2)=17{,}6~\%\), \(p(3)=12{,}5~\%\), \(p(4)=9{,}7~\%\), \(p(5)=7{,}9~\%\), \(p(6)=6{,}7~\%\), \(p(7)=5{,}8~\%\), \(p(8)=5{,}1~\%\), \(p(9)=4{,}6~\%\). »
La loi décrite dans cet article s'appelle loi de Benford.

Considérons la loi de probabilité de la variable aléatoire \(D\) qui représente le premier chiffre d'un nombre choisi au hasard dans une série de nombres qui suit la loi de Benford. On a donc le tableau ci-dessous :
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|} \hline d_i&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\ \hline p(D=d_i)&0{,}301&0{,}176&0{,}125&0{,}097&0{,}079&0{,}067&0{,}058&0{,}051&0{,}046\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

1. Déterminer la probabilité que le nombre d'habitants d'une ville choisie au hasard du département des Yvelines commence par le chiffre \(4\) ou \(5\).
2. Vérifier la réponse donnée à l'aide de ce tableur de l'Insee (onglet Communes) :
https://www.insee.fr/fr/statistiques/fichier/7728806/dep78.xlsx
Indication : on pourra utiliser la formule =STXT(J9;1;1) qui extrait le premier caractère du texte dans la cellule J9.
3. Déterminer la probabilité qu'un produit tiré au hasard d'un catalogue d'un supermarché ait comme premier chiffre un nombre impair.
4. Vérifier la réponse donnée sur le site d'un supermarché de votre choix.